§3-４
重心与形心
一、重心得概念:
１、重心得有关知识,在工程实践中就是很有用得,必须要加以掌握。
2、重力得概念:重力就就是地球对物体得吸引力、
3、物体得重心:物体得重力得合力作用点称为物体得重心。
无论物体怎样放置,重心总就是一个确定点,重心得位置保持不变。
二、
重心座标得公式:
(1)、重心座标得公式
三、物体质心得坐标公式
在重心坐标公式中,若将 G=mｇ,Ｇ i ＝m ｉ g 代入并消去ｇ,可得物体得质心坐 标公式如下:
四、均质物体得形心坐标公式
若物体为均质得,设其密度为 ρ,总体积为 V,微元得体积为Ｖ i ,则 G＝ρgＶ,G i ＝ρgV i ,代入重心坐标公式,即可得到均质物体得形心坐标公式如下:
式中Ｖ=∑Vi。在均质重力场中,均质物体得重心、质心与形心得位置重合。
五、均质等厚薄板得重心(平面组合图形形心)公式:
令式中得∑Ａ ｉ .x i =A。ｘ ｃ =Ｓ y ;
∑A i 。y i ＝A。y c ＝S x
则 S y 、S x 分别称为平面图形对ｙ轴与 x 轴得静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置得求法 工程中,几种常见得求物体重心得方法简介如下:
１、对称法
凡就是具有对称面、对称轴或对称中心得简单形状得均质物体,其重心一定在它得对称面、对称轴与对称中心上、对称法求重心得应用见下图。
2、试验法对于形状复杂,不便于利用公式计算得物体,常用试验法确定其 重心位置,常用得试验法有悬挂法与称重法。
(1)、悬挂法
利用二力平衡公理,将物体用绳悬挂两次,重心必定在两次绳延长线得交点上。
悬挂法确定物体得重心方法见图
(２)、称重法
对于体积庞大或形状复杂得零件以及由许多构件所组成得机械,常用称重法来测定其重心得位置。
例如,用称重法来测定连杆重心位置。如图。
设连杆得重力为Ｇ ,重心 C 点与连杆左端得点相距为 Xc,量出两支点得距离 L,由磅秤读出 B 端得约束力 F B ,
则由
∑M A (F)＝０
Ｆ B 。Ｌ-G、x c =0
ｘ c =F B .L/G
(3)、分割法:
工程中得零部件往往就是由几个简单基本图形组合而成得,在计算它们得形心时,可先将其分割为几块基本图形,利用查表法查出每块图形得形心位置与面积,然后利用形心计算公式求出整体得形心位置、此法称为分割法。
下面就是平面图形得形心坐标公式:
(4)、负面积法:
仍然用分割法得公式,只不过去掉部分得面积用负值、
３、查表法在工程手册中,可以查出常用得基本几何形体得形心位置计算公式。
下面列出了几个常用得图形得形心位置计算公式与面积公式。
四、求平面图形得形心举例
例１ 热轧不等边角钢得横截面近似简化图形如图所示,求该截面形心得位置、
解: 方法一(分割法):
根据图形得组合情况,可将该截面分割成
两个矩形Ⅰ,Ⅱ,C1 与 C2 分别为两个矩形
得形心。取坐标系 Oｘy 如图所示,则矩形Ⅰ,
Ⅱ得面积与形心坐标分别为
A 1 =120mｍ×12ｍm=１４４0mm2
ｘ 1 =6mm
ｙ 1 ＝60mm
Ａ 2 =(8０—12)ｍm×12ｍm=8１6mm2
ｘ ２ =12mｍ+(80—12)/2０＝46mm
y ２ ＝6mm
即所求截面形心 C 点得坐标为(2０。5mm,40.5ｍm)
方法二(负面积法):
用负面积法求形心。计算简图如图。
Ａ 1 =80ｍm×１20mｍ=96０0mm 2
ｘ １ ＝4０mm y１=6０mm
A 2 =-１０８mｍ×68ｍｍ=-7３44mm 2
ｘ １ ＝12mm＋(８0-12)mm/2=46mｍ
ｙ 1 ＝12ｍm＋(１20－12)mｍ/2=66mｍ
由于将去掉部分得面积作为负值,方法二又称为负面积法。
例２ 试求如图所示图形得形心。已知 R＝１00mm,r 2 =30mm,r 3 ＝１７mm。
解:由于图形有对称轴,形心必在对称轴上,建立坐标系Oxy如图所示,只须求出x ｃ ,将图形瞧成由三部分组成,各自得面积及形心坐标分别为
(1)、半径为 R 得半圆面:
A 1 ＝ π R 2 ／2＝ π ×(100mm) 2 /２=157０0mm 2
y 1 =4R／(3 π )=4×100ｍm／(３ π )＝42．4ｍm
(2)、半径为 r 2 得半圆面
Ａ ２ ＝ π (r 2 ) 2 /2= π ×(３0mｍ) 2 ／2＝1４00mm２
ｙ ２ =－４r 2 /(3 π) ＝—4×30ｍｍ/(3 π )=-12．7mm
(３)、被挖掉得半径为 r3 得圆面:
Ａ 3 ＝－ π (r 3 ) 2 ＝－ π (17ｍm)２ =910mm 2
ｙ ３ ＝0
(4)、求图形得形心坐标。由式形心公式可求得
即所求截面形心 C 点得坐标为(0mm,40mｍ)
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