第一章
随机事件与概率 § 1.1 随机试验
随机事件
一、选择题
1. 设 B 表示事件“甲种产品畅销”，C 表示事件“乙种产品滞销”，则依题意得 A=BC.于是对立事件 A B C 甲产品滞销或乙产品畅销 ，故选 D.
2. 由 A B B A B B A AB ，故选 D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间 1. 3,4 20 ， ，
2 0,100
3. z y x z y x z y x z y x , , }, 1 , 0 , 0 , 0 | ) , , {( 分别表示折后三段长度。
三、（1）任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验，易知共有 6 个不同的结果.设试验的样本点
" " 1,2,3,4,5,6ii i 出点点 ， ；则 2 4 6, , A ， 3 6, B
（ 2 ）
1 3 5, , A ， 1 2 4 5, , , B ， 2 3 4 6, , , A B ， 6AB ， 1 5, A B 四、（1）
ABC ；（2）
ABC ；（3）“ A B C 、 、 不都发生”就是“ A B C 、 、 都发生”的对立事件，所以应记为 ABC ； （4）
A B C ； （5）
“ ABC 、 、 中最多有一事件发生”就是“ A B C 、 、中至少有二事件发生”的对立事件，所以应记为：
AB AC BC .又这个事件也就是“ A B C 、 、 中至少有二事件不发生”，即为三事件 AB AC BC 、 、 的并，所以也可以记为AB AC BC . § 1.2 随机事件的概率
一、填空题
1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10！，设 A 指定的3本书放在一起 ，所以 A 中包含的样本点数为 8!3! ，即把指定的 3 本书捆在一起看做整体，与其他三本书全排，然后这指定的 3 本书再全排。故8!3! 1( )10! 15P A 。
2. 样本空间样本点 7! 5040 n ，设事件 A 表示这 7 个字母恰好组成单词 SCIENCE，则因为 C 及 C, E 及 E 是两两相同的，所以 A 包含的样本点数是 2! 2! 4 A ，故
2! 2! 1( )7! 1260P A
二、求解下列概率 1.
(1)
25280.36CC ;
(2) 1 5 1 53 7 3 76 68 85!0.3756!C C C AC A
2.
41241 0.427112A
3. 由图 1.1 所示，样本点为随机点 M 落在半圆20 2
( ) y ax x a 为正常数 内，所以样本空间测度可以用半圆的面积 S 表示。设事件 A 表示远点 O 与随机点 M 的连线 OM 与 x 轴的夹角小于4，则 A 的测度即为阴影部分面积 s ， 所以 2221 14 2( )22aasP ASa §3 1.3 概率的性质
一． 填空题 1．0.3; 2. 1 p ; 3. 16; 4. 712
二． 选择题 1. C; 2. A; 3. D; 4. B; 5. B. 三． 解答题 解：因为 , AB A A B 所以由概率的性质可知：
( ) ( ) ( ). P AB P A P A B 又因为 ( ) 0, P AB 所以可得 ( ) ( ) ( ), P A B P A P B 于是我们就有 ( ) P AB
( ) ( ) P A P A B ( ) ( ) P A P B . 如果 , A B 则 , AB A
( ) ( ) P AB P A ； 如果 , B A 则 , A B A 这时有 ( ) ( ). P A P A B
aa2a1.1 图
如果 , AB 则 ( 0, P AB ）
这时有 ( ) ( ) ( ). P A B P A P B
§ 1.4 条件概率与事件的独立性
一． 填空题 1. 23；2. 0.3、0.5；3. 23；4. 14； 5.
2；
5. 因 为 A B A B ， 所 以 ( ) ( ) , ( ) ( ) A B A B A A B B A B A B A B A B ， 则 有, A B A B A B ，因为 , AB A B 且 所以 A 与 B 是对立事件，即A B A B ， 。所以， ( ) ( ) 1, P A B P A B 于是 ( ) ( ) 2 P A B P A B
二． 选择题 1. D； 2. B；3. A；4. D；5. B 1． 已知 ( ) ( ) 1, P A B P A B 又 ( ) ( ) 1, P A B P A B 所以 ( ) ( ), P A B P A B 于是得( ) ( )( ) ( )P AB P ABP B P B ，注意到 ( ) ( ) ( ), ( ) 1 ( ), P AB P A P AB P B P B 代入上式并整理后可得 ( ) ( ) ( ) P AB P A P B 。由此可知，答案 D。
三． 解答题 1. 3 310 5， ；
2. 2n § 1.5 全概率公式和逆概率（ Bayes ）公式
解答题 1. 0.973 2. （1）0.85；（2）
0.941 3.（1）
0.943 ；（2）
0.848
§ 1.6 贝 努利 概型与二项概率公式
一． 填空题 1. 11 (1 ) ,(1 ) (1 )n n np p np p ；2. 23 二． 解答题 1. 0.5952.
2. 0.94 n ，2 2 2(0.94) (0.06)n nnC ，11 (0.94) (0.06) (0.94)n nn
3.（1）0.0839，（2）0.1240，（3）0.9597 章节 测验
一． 填空题 1. 825； 2. 对立；3. 0.7； 4. 8 421 7，
二． 选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.D
三、解答题 1.（1）0.69； （2）223 2.
.0038 四、证明题（略）。
2.1
随机变量
分布函数
一、填空题 1. ) ( 1 a F ； ) 1 ( ) 1 ( F F ；) () ( ) (b Fa F b F ；2. 1, 12a b /π；3.12 1 e
二、选择题 1、D；
2、A；
三、计算题 1.解：由题意知随机变量 X 的分布列（律）为 X
3 4 5 P
101 103 106 所以得随机变量 X 的分布函数为 5 , 15 4 ,1044 3 ,1013 , 0) (xxxxx F
2.解：（1）由条件知，当 1 x 时， 0 ) ( x F ；
由于81} 1 { X P ，则81} 1 { ) 1 ( X P F ； 从而有
8581411 } 1 { } 1 { 1 } 1 1 { X P X P X P ； 由已知条件当 1 1 x 时，有
) 1 ( } 1 1 1 { x k X x X P ； 而 1 } 1 1 1 1 { X X P ，则21 k
于是，对于 1 1 X 有 } 1 1 1 { } 1 1 { } 1 1 , 1 { } 1 { X x X P X P X x X P x X P
16) 1 ( 52185 x x 所以
167 516) 1 ( 581} 1 { } 1 { ) ( x xx X P X P x F
当 1 x 时， 1 ) ( x F ，从而 1 , 11 1 ,167 51 , 0) (xxxxx F
（2）略。
2.2
离散型与连续性随机变量的概率分布
一、填空题 1．3827；2. 2
二、选择题 1.C；
2.A；
3.B
三、计算题 1.（1）
2 , 1 B A ；（2） 2 , 12 1 , 1221 0 ,20 , 0) (22xxxxxxxx F ；（3）43 2.略。
2.3
常用的几个随机变量的概率分布
一、填空题
1.649；2.232e ；3. 2 . 0
二、计算题
1、43；2、 352 . 0 ；3、 5167 . 0 ；4、（1）
9270 . 0 1 ) 5 . 1 ( ) 5 . 2 ( ；（2）
29 . 3 d
2.4
随机向量及其分布函数
边际分布 一、填空题 1、 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F b b F a b F b a F a a ； ( , ) ( , ) F b b F a b ； 2、 0 ； 1
二、计算题 1、（1）2,2,12 C B A ；（2）161； （3）
R xxx F X ),2arctan2(1) (， R yyy F Y ),3arctan2(1) ( 2、（1） 0 , 00 , 1) (2xx ex FxX， 0 , 00 , 1) (yy ey FyY,； （2）4 2 e e 。
3、 2, 120 ), cos 1 (sin210 , 0) (xx x xxx F X ， 2, 120 ), cos 1 (sin210 , 0) (yy y yyy F Y
2.5
二维离散型与连续性随机向量的概率分布 一、填空题 1、87；2、 1 jijp ， 1 iijp ；3、41；4、41 二、计算题 1、 1 c ；0 , 00 ,) (xx ex fxX； 0 , 00 ,) 1 (1) (2yyy y f Y
2、（1）6,( , )( , )0,x y Df x y 其它； （2）26( ),0 1( )0 ,Xx x xf x 其它；6( ),0 1( )0 ,Yy y yf y 其它
3、
2.6
条件分 布
随机变量的独立性
一、选择题 1、B；
2、A；
3、D；
4、C；
5、D 二、计算题
1、
2、| |2 ,0 1 2 ,0 1( | ) , ( | )0, 0,X Y Y Xx x y yf x y f y x 其它 其它 3、（1）
8 c ；（2）41}2{ XY P ；（3）不独立。
4、 ) 1 ( 1 1121 e 2.7
随 机变量函数的概率分布
一、填空题 1、
2、1,0 1( )0,Yyf y 其它 二、选择题 1、B；
2、D； 三、计算题 1、 elseyy f, 01 0 , 1) ( ；
2、 1 , ) 1 (1 0 , 10 , 0) (z e ez ezz fzzZ X Y
1
1
1
41 21 1
0
41 0 | Y X
0
1
2
P
25 . 0
25 . 0
5 . 0
Y
3
1
1
3
7
P
203 204 205 204 204 Z
9
4
1
0
P
203 208 205 204
3、 1 , 11 0 ,210 , 0) (zzzz f Z ； 1 ,2111 0 ,20 , 0) (zzzzzz F Z
第二章测验
一、填空题 1、41；2、34 ；3、 0 ；4、 2 . 0
二、选择题 1、C；
2、A；
3、B 三、计算题
1、 ~ (3,0.4) X B ，则随机变量的概率函数为
其分布函数为：
3 , 13 2 ,1251172 1 ,125811 0 ,125270 , 0) (xxxxxx F
2、（1）
24 A ； （2） 其它 , 01 0 ), 1 ( 12) (2x x xx f X ， 其它 , 01 0 ), 1 ( 12) (2y y yx f X ； （3）不独立； （4） 其它其它, 01 0 , 1 0 ,2) | ( ,, 01 0 , 1 0 ,) 1 () 1 ( 2) | (2|2|y xxyx y fy xyxy x fX Y Y X。
3、（1）0 , 00 ,) (zz zez fzZ；（2） 0 , 00 ,) 1 (1) (2zzz z f Z
X
0
1
2
3
P
12527 12554 12536 1258
第三章 随机变量的数字特征
3.1 数学期望 一
、填空题
1、 13，23，3524 ；
2、 21 ， 0.2
3、 2
，4796 二、计算题
1.
解：
11 21 1( )(1 ) (1 ) 1kkkk ka a aE X k ka a a 根据公式
""121 11( 1)11k kk kxkx x xxx 得到
2 21( )(1 )11aE X aaaa 2． 0
；3．:2a 4.
2/3，4/3 ，-2/3，8/5
； 5． ．4/5，3/5，1/2，16/15
2 3.2 方差
一、填空题
1.
0.49 ；2. 1/6 ； 3.
8/9
；4. 8 ，0.2 二、计算题
1 1.：
0.6 ，0.46 提示：
设
0,1,iiXi 部件 个不需要调整部件 个需要调整 则1 2 3, , X X X 相互独立，并且1 2 3X X X X ，显然1(1,0.1), X B
2(1,0.2) , X B3(1,0.3) X B
2. ：1/3，1/3 ；
3 3 ．：
16/3 ，28
三、
证明题
提示：
2 2( ) ( ) ) D XY E XY E XY E XY EX EY
2) E XY YEX YEX EX EY
2( ) ( ) E Y X EX EX Y EY DX DY
3 3.3 协方差与相关系数
一、
选择题
1. A；
2.C ； 3.C 二、
计算题
1. ( ) 0 E X E Y ， ( ) ( ) 0.75 D X D Y ， 0XY ，
( ) 1. 5 D X Y
X 与 Y 不独立 2. 0 ，0
提示：221211 11 , 1 1( )0yyYdx y yf y 其它
1211( ) 1 0 E Y y y dy ( ) 0.25 D Y
同理可得 ( ) 0 E X E Y ， ( ) ( ) 0.25 D X D Y
2 21( , ) ( ) 0x yxyCov X Y E XY dxdy 3. ：2 22 2a ba b 4 3.4 矩与协方差矩阵
1. 33 3 2 1 13 2 v v v v
2.（1）0.7，0.6，0.21，0.24 ；（2）-0.02
；（3）-0.0089
（4）0.21 0.020.02 0.24
第三章 测验 一、
填空题
1．18.4 ； 2. 1 ，0.5；
3． ab
二、
选择题
1．B ； 2.A；3.D 三、
计算题
1.解：设 X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数，又设
0,1,iiXi 第 个零件未报废第 个零件报废 则由题设知
0 111 1iXii i 于是有 101iiX X
且1( ) ( 1,2, ,10)1iE X ii 从而10 10 101 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) 2.021 2 3 11i ii i iE X E X E Xi 2.：
10 分 25 秒 提示：设乘客到达车站的时间为 X ，由题意可知 X 为[0,60] 上 的 均 匀 分 布 ， 根 据 发 车 时 间 可 以 得 到 等 候 时 间 Y ， 且 Y 是 关 于 X 的 函 数
10 0 1030 10 30( )55 30 5570 55 60X XX XY g XX XX X 3. 0,0 第四章习题
4.1 切比雪夫不等式
随机变量序列的收敛性
1．解：由切比雪夫不等式知， 222 1(3 7) (| 5| 2) 12 22 1(| 5| 8)8 32P X P XP X 2．解：设 X 为在 n 次试验中事件 A 出现的次数，则 ~ ( , ) X B n p ，Xn为频率． 21 1 1 0.75 0.25( ) ( ) 0.75 0.75 , ( ) ( )X XE E X n D D Xn n n n n n
由题意知 {0.7 0.8} 0.9 ,XPn
而由切比雪夫不等式有20.75 0.25{| 0.75| 0.05} 10.05XnPn
所以有20.75 0.251 0.90.05n ，得 750 n
4.2 大数定理
1． 证：有题设知 X n （n=2，3，…）的概率分布为：
2X n - 0
n kx nX P
n 1 n 2 - 1
n 1
故 X n 的数学期望为 01 21 01n - ) (n nnn nX E X n 的方差为 2 22 2 21 2 1( ) [ ( )] 0 1 2n n nD X E X E X n nn n n 故 NnnXNX11的数学期望 01 11 1 NnnNnnX ENXNE X E 方差 N NX DNXND X DNnNnnNnn221 1 112121 在利用车比雪夫不等式得 022 2 NNX DX E X P 因此， X 1 ，X 2 ，…，X n ，…服从大数定理。
2．证：由于 X 1 ，X 2 ，…，X n 相互独立，且 ( )i iE X ， ( )iD X 存在， 令
n11niiX Xn
则
k k1 1 11 1 1n n nn ki i iE X E X E Xn n n
有限。
k k21 11 10n nnni iD X D X D Xn n 故由车比雪夫不等式知， 0 。
12 2 21 1 1nknnkn nD XD XP X E Xn 即
1 11 1lim {| | } 1n ni ini iP Xn n 4.3 中心极限定理
1．解：设 X 为抽取的 100 件中次品的件数，则 (100,0.2) X B ， ( ) 100 0.2 20, ( ) 20 0.8 16 E X D X
则18 20 20 25 20 1 20 5{18 25} { } { }4 4 4 2 4 4(1.25) ( 0.5) (1.25) (0.5) 1 0.8944 0.6915 1 0.5859X XP X P P 2．解：（1）
设 X 为一年中死亡的人数，则 ( , ) X B n p ，其中 n =10000， p =0.006 保险公司亏本则必须 1000X>120000，即 X>120 P{保险公司亏本}= { 120} P X =120{ }(1 ) (1 )X np npPnp p np p
= { 7.769}(1 )X npPnp p1 (7.769) 0
（2）P{保险公司获利不少于 40000 元} {120000 1000 40000} { 80}80{ } (2.59) 0.995(1 ) (1 )P X P XX np npPnp p np p 3．解：设 X i ={每个加数的舍入误差}，则 X i
~ U(-0.5, 0.5)， 0i X E ， 12 1i X D ，i = 1, 2, … 故由独立同分布中心极限定理知 X 1 ， X 2 ， …服从中心极限定理。
（1）
802 .1 0 ) 9099 . 0 1 ( 2) 4 .3 1 ( 1 2 1 ) 4 .3 1 ( 2 1 ) 4 .3 1 ( ) 4 .3 1 ( 112115000 1500 1512115000 150012115000 1500 15- 115 15 1 15 1 1515001150011500115001 iiiiiiiiXPX P X P X P （2）
1{| | 10} 0.9niiP X
，110| | 0.91 112 12niiXPn n 由中心极限定理得，10 102 ( ) 1 0.9, ( ) 0.951 112 12n n ，所以 101.65112n，解得 440 n ．
第四章
测验
一、填空题
1．1/4；211k ． 2．221n ．提示：利用切比雪夫不等式估计． 3．1/12 4．0． 5．0.5． 6． ( ) x ． 二、选择题
1．A
2．C
3 D．
三、应用题
1．解：设 X 为 1000 次中事件 A 出现的次数，则 (1000,0.5) X B
( ) 500, ( ) 500 0.5 250 E X D X
250 39{400 600} {| 500| 100} 1 0.97510000 40P X P X
2．解：设至少要掷 n 次，有题设条件知应有 9 . 0 6 . 0 4 . 0 nX P
其中 niiXnX1n1，
i=1，2，… 独立同分布，且 5 . 0 0 1i i X P X P ， 5 . 0 ) (i X E ， 25 . 0 5 . 0 5 . 0 ) (i X D
（1）
用切比雪夫不等式确定 2n1 . 01 1 . 0 5 . 0 6 . 0 4 . 0nnX DX P X P 而 n nX DnXnD X Dniniini25 . 05 . 01 1 1) (12212n 即要求90 . 01 . 025 . 012 n 即) 次 ( 2501 . 025 . 03 n 即至少应掷 250 次才能满足要求。
（2）用中心极限定理确定 -0.5 0.4-0.5 0.6-0.50.4 0.60.5 0.5 0.52 1 0.905 5 5nnXP X Pn n nn n n 得1 0.900.955 2n 查标准正态分布表的 645 . 1 5 n ， 225 . 8 645 . 1 5 n
所以 68 65 . 67 225 . 82 n
即在这种情况下至少应掷 68 次才能满足要求。
3．解：设 X 为每天去阅览室上自习的人数。
则有 (12000,0.08), ( ) 12000 0.08 960, ( ) 960 0.92 883.2 X B E X D X
（1）
{ 880} 1 { 880}960 880 9601 { }883.2 883.21 ( 2.692) (2.692) 0.996P X P XXP （2）设总座位数为 n 960 960{ } 0.8, { } 0.8883.2 883.2X nP X n P 由中心极限定理知， 960( ) 0.8883.2n ，查表得960883.2n=0.85， 986 n ，所以应增添 986-880=105 个座位。
4．解：令 n 为该药店需准备的治胃药的瓶数 X 为在这段时间内购买该药的老人数 则由题意知 (2000,0.3) X B ， ( ) 2000 0.3 600, ( ) 600 0.7 E X D X
{ } 0.99600 600{ } 0.99420 420P X nX nP 由中心极限定理知， 600( ) 0.99420n ，查表得6002.33420n ，所以 648 n
四、证明题
1．证明：设
则有,11, ( ) ( ) (1 )4nn k k k k k kkM X E X p D X p p
11 11 1( ) ( ) ( ) .nk n nn kk kk kpME E X E Xn n n n 12 2 21 111 1 1 4( ) ( ) ( ) .4nn nn kk kk kMD D X D Xn n n n n 由切比雪夫不等式得，1 22 2( )11 1 {| | }4nn nMDM p p pnPn n n ， 所以当 n 时1 21 {| | } 1n nM p p pPn n ，即 1 2{| | } 1n nM p p pPn n ．
2．证：因为1 2, , ,nX X X 相互独立且同分布，所以21X ，22X ，…，2nX 相互独立且同分布，且有相同的数学期望与方差：
22a X Ei， 0 a -222 422 4 2 a X E X E X Di i i 满足独立分布中心极限定理条件，所以 niiX12近似服从正太分布 22 , n na N，即nii nXnY121近似服从 na aa N2 242) (, 第五章
数理统计的基本概念
5.1
总体
样本
统计量
一、选择题 1.(D) 2.(A)
9 922 221 19285 9 257.59 1 9 1 8iii iX X X XS 3. (D) 二、应用题
1. 5，2.44
2. 551 2 5 1 511( ) ( , ,... ) ( ) , ,...0,iX iib a f x x x f x a x x b 其它
3. 0, 11,1 24( )3,2 341, 3xxF xxx 5.2 抽样分布 一、选择题 1.(C)
注：
1111 1~ ( 1)/Xt nS n 才是正确的. 2.(B) 根据 2221~ 1n Sn 得到 2 21( ) ~ 1niiX X n 3.(A)
解：
9 921 1~ (0,9 ) 9 ~ 0,1i ii iX N X N ， 92 219 ~ 9iiY
由 t 分布的定义有 919219981iiiiXtY～
二、应用题 1. ( 1,1) F n
2. (1)3~ (10, )2X N
(2) 0.2061 3. 26.105 第五章 测验 一、选择题 1. ( C ) 2.（C）
注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3（D）
对于答案 D,由于 ~ (0,1), 1,2, ,iXN i n ，且相互独立，根据2 分布的定义有 2212( )~ ( )niiXx n
4.(C) 注：1~ (0, ) X Nn， ~ ( 1)Xt nS n 才是正确的 5.(C)
1 2 3 4 5{max( , , , , ) 15} P X X X X X
1 2 3 4 51 {max( , , , , ) 15} P X X X X X
1 51 15, , 15 P X X
=5)] 5 . 1 ( [ 1
二、填空题 1. ，2n 2. 1niiXn， 2111niiX Xn， 2111niiX Xn，11inkiXn， 11nkiiX Xn 3. ,pqpn 4. 2 52 (1) n
三、应用题 1. ( 1)21 211( , ,... ) ( )!!n nk nnn niif x x x e ekk 2.
0.1
3. ( 1) t n
第六章
参数估计 6.1 参数的点估计
一、选择题
1.A
2.A 二、解答题 1.解 （1）
1111 } {xxxp p x x X xP X E 11xxqqp qdqdp
p1
p q 1
用 X 代替 X E ，则得 p 的矩估计量 Xp1
niiXnX11 （2）分布参数 p 的似然函数 nixinip p x X P p Li1111 } { niin xnp p 1 1
取对数
p n x p n p Lnii 1 ln ln ln1 解似然方程
011 ln1 niin xp pndpp L d
得 p 的极大似然估计量
Xp1
niiXnX11
2.解
（1）
26;320 dx xxdx x xf X E ，用niiXnX11代替总体均值 X E ，则得参数 的矩估计量为 . 2X （2） niiXnD X D X D D114 4 2 niiX DnX nDnX Dn12 24 4 4 因 为
22222; ] [ dx x f x X E X E X D 02 23320 46 dx xx 所以
n nD5 2042 2
3.解
取 1121 2 1, , , ,nii i nX X C X X X 由定义 1121 2 1, , ,nii i nX X C E X X X E 1121nii iX X E C
1121212nii i i iX X X X E C 1121212nii i i iX E X X E X E C 1121212nii i i iX E X E X E X E C 112 2 212nii iX E X E X E C 2112 2 22 1 nin C C
所以
1 21nC
6.2 参数的区间估计
一、选择题
1. C
2. A 6.3 一个总体均值的估计 1.解
由于 , 99 . 0 1
故 , 3 1 , 01 . 0 n 又 查 t 分布表得 0.0123 5.841, t 又%, 03 . 0 %, 34 . 8 s x
故得 的 99%的置信区间为 % 428 . 8 %, 252 . 8 )%403 . 0841 . 5 34 . 8 ( )%,403 . 0841 . 5 34 . 8 (
2.解
计算得样本均值 16 , 0171 . 0 , 125 . 22 n s x
（1）0.120.10, 1.645, 0.01, u
总体均值 的 90%的置信区间为 2 2, 2.121, 2.129 x u x un n （2）
. 15 1 , 10 . 0 n 查 t 分布表得 0.1215 1.753 t 753 . 1 1510 . 0 t ，总体均值 的 90%的置信区间为 2 21 , 1 2.117, 2.133s sx t n x t nn n 3. 解 ：
计 算 得265, 3000, 0.05 x s ， n-1=7 ， 查 t 分 布 表 得 0 . 1 027 1 . 8 9 5 t ，计算得株高绝对降低值 μ 的 95%的置信下限为 21 28.298sx t nn . 4.解
每20.10hm 的平均蓄积量为315m ，以及全林地的总蓄积量375000m ，估计精度为 0.9505 A
5. [372.37, 452.67] 6.4 一个总体方差与频率的估计
1.解
由样本资料计算得 3750 . 60 x , 3846 . 02 s , 6202 . 0 s ,又由于 05 . 0 ，025 . 0 2 ， 975 . 0 2 1 ， 15 1 n
查2 分布表得临界值 , 488 . 27 ) 15 (2025 . 0
, 262 . 6 ) 15 (2975 . 0 从而2 及 的置信概率为 % 95 的置信区间分别为[0.2099，0.9213]与[0.4581，0.9598]. 2. 解 （1）由于 , 14 n , 05 . 0 查 t 分布表得 0.05213 2.16, t 又 67 . 1 , 7 . 8 s x ，故得总体均值 的 95%的置信的区间为 2 21 , 1 7.736,9.664s sx t n x t nn n （ 2 ）
由 于 , 10 . 0
05 . 0 ２ ， , 95 . 0 2 1 , 13 1 n 查2 分 布 表 得 362 . 22 13205 . 0 ， 892 . 5 13295 . 0 ，故得总体方差2 的 90%的置信区间为 153 . 6 , 621 . 111,112212222nS nnS n 3. 解 , 4 1 , 95 . 0 2 1 , 05 . 0 2 , 10 . 0 n 查2 分 布 表 得 , 488 . 9 4205 . 0
711 . 0 4295 . 0 ，又计算得 1 . 21 x ， 505 . 82 s ，故得该地年平均气温方差2 的 90%的置信区间为 85 . 47 , 58 . 311,112212222ns nns n 4. 解 造林成活率的置信区间为 [0.8754,0.9369]
6.5 两个总体均值差的估计
1. 解
由于 18 2 , 05 . 02 1 n n ，查 t 分布表得临界值 0.05218 2.101. t 又, 8 . 126 , 06 . 14 , 102 1 y x n n , 96 . 71 , 93 . 162221 s s 从而求得2 1 的置信概率为 95%的置信区间为[7.536，20.064].即以 95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高 7.536kg 到 20.064kg. 2.解
由样本值计算得 5 , 5 , 27 , 4 . 2422 1 A B An n y x ， 82B ，05 . 0 ， , 96 . 105 . 0 u 故2 1 的 95%的置信区间为
2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 2 2, 5.76, 0.56A B A Bx y u x y un n n n 3. 解
由样本值计算得 2 2 2 211 . 10 , 875 . 75 , 30 . 11 , 44 . 81 B B A As y s x ，, 91 n
, 82 n
, 05 . 0
查 t 分布表得 0.05215 2.131, t 故得B A 的 95%的置信区间为
4.
[-13.93，-9.77]
6.6 两个总体方差比的估计 解 , 025 . 02, 05 . 0 , 9 1 1 B An n 查F分布表得 1 , 12B An n F
, 03 . 4 9 , 9 1 , 1025 . 02 F n n FA B 故 2221 的 95%的置信区间为：
6008 . 3 , 2217 . 0 1 , 1 · ,1 , 11·222222 n n Fssn n F ssA BBAB A BA
第六章 测验 一、选择题
1.D
2.C
3.A
二、填空题
1.12
2.2 1ˆ2X
3. 588 . 5 , 412 . 4
4. 21;1 5. 0.3521 t nkn
三、计算题
1.解 因为 X～N , 4 ,2 所以 , 9492222 ～S 于是，
1 . 0169169} {22SP a S P 查2 分布表得 , 684 . 14169a 所以 . 105 . 26 a
2 . . 解
（1）
exx f x x x fniniixi ni1 12 1!; , , , niixnx enii1! ·1； 2 21 21 2 1 1 2 21 2 22 21 21 2 1 1 2 21 2 22 1 1 ,22 1 1 5.58, 16.71 .2A BA Bn nx y t n n n s n sn nn nx y t n n n s n sn n
（2）
nnS EnX D X En1, ,2 . 3 . . 解
因 为 X ～ N 22 , 30 ， 于 是 , ) 2 1 ( , 30 ) 16 2 ( , 302 2 ＝N ～N X 从 而 1 , 02 130 ～NXU ，故 2 / 130 312 / 1302 / 130 2931 29XP X P
9545 . 0 1 97725 . 0 2 1 2 2 2 2 22 1302 XP
4 . . 解
（1）
178320 , 314022 b x ；（2）
1981332 2 s 5. .解
设施肥与不施肥的收获量分别为总体 , ,Y X 且 X～N ， ，21 Y～N ) ( ~22 ， N Y , 计 算 可 得 , 1738 . 1 , 9227 . 0 , 7 . 9 , 4 . 112 222 21 s s y x 又, 05 . 0 , 16 2 , 10 , 82 1 2 1 n n n n 查 t 分布表得临界值 0.05216 2.12, t 从而计算均值差2 1 的 95%的置信区间为 . 7773 . 2 , 6227 . 016 8 10181738 . 1 9 9227 . 0 7 12 . 2 7 . 9 4 . 11,16 8 10181738 . 1 9 9227 . 0 7 12 . 2 7 . 9 4 . 112 22 2 故在置信概率 0.95 下，每 20 1 亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产 0.6 到 2.8 斤. 第七章
假设检验
7.1 假设检验概念和原理
一、填空题：
1、概率很小的事件在一次试验（抽样）中是不至于发生的。
2、0H 为真，通过一次抽样拒绝0H 所犯错误； 0H 为假，通过一次抽样接受0H 所犯错误。
二、选择题
1、B ；2、D。
三、应用计算题
1、解：
1 2 32| 1 2 5 8 P x x x p
1 2 32| 1 4 3 64 P x x x p
2、解：（1）、21 0 0 . 6 2 c u
（2）、因210 0.62 c u
故拒绝原假设0 0: 0 H 。
（3）、 1 . 1 51 . 1 51 1 0 1 1 0xP x P
3.64 1 2 (3.64) 1 0.00031 10xP 7.2 一个总体参数的假设检验
一、填空题：
1、01XUn
01 2( , , ):1nXR x x un 。
2、220( 1) n SF 。
3、010 0( , , ):(1 )nW pR x x up p n 二、选择题
1．A
2.D
3. B
三、应用计算题
1、（1）若根据以往资料已知 =14 ；（2）
未知。
解：（1）0 1: 500 : 500 H H
0502 5000.45214 10xun
因 20.452 1.96 u u
故接受原假设0H . 从而包装机工作正常。
(2).先检验标准差 0 0 1 0: =15 : H H
2 222 20( 1) (10 1)1610.2415n S
2 2110.24 3.325 ( 1) n
故拒绝原假设0 0: =15 H
其次检验0 1: 500 : 500 H H
0502 5000.39516 10xTS n
因2T 0.395 2.262 ( 1) t n
故接受原假设0 :500 H
所以，综合上述两个检验可知包装机工作正常。
2、解：0 0 1 0: =0.3 : =0.3 H H
2 222 20( 1) (25 1)(0.36)0.3456(0.3)n S
2 20.3456 36.415 ( 1) n
故接受原假设。标准差没有明显增大。
3、解：0 0 1 0: 0.9 : 0.9 H p p H p p
4400.88500W
00 00.88 0.91.49(1 ) 0.9(1 0.9) 500W pUp p n 0.05 0.011.645, 2.33 u u
0.051.645 U u
0.012.33 U u
故两个水平下均接受原假设。
7.3 两个总体参数的假设检验
一、填空题
1、等方差。
2、2 21 22 21 2S SF 服从1 2( 1, 1) F n n .分布。
3、1 21 2(1 )(1 1 )W WUW W n n , 其中1 1 2 21 2nW n WWn n。
二、选择题
1、 B
2. A
三、应用计算题
1、解：0 1 2 1 1 2: : H H
2 21 1 2 21 2 1 2( 1) ( 1) 1 12X YTn S n Sn n n n 0.23 0.2690.206(9 1) 0.1337 (8 1) 0.1736 1 19 8 2 9 8 因20.206 2.131 (15) T t
故接受原假设。
2、解：检验0 1 2 1 1 2: : H H
2 2 2 21 21 2280 2861.5(28) (28.5)100 100X YUS Sn n 因21.5 1.96 U u
故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异。
3、解：0 1 2 1 1 2: : H p p H p p
120 200 0.1 W
215 200 0.75 W 1 1 2 21 2350.07500nW n WWn n
1 21 20.1 0.755.970.07(1 0.07)(1 200 1 300) (1 )(1 1 )W WUW W n n 因 5.97 1.645 U u
故拒绝原假设，即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂。
7.4 非参数假设检验
一、填空题
1、 1 m k
2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合。
3、 ( 1)( 1) r c 。
二、选择题
1. A；2. C 三、应用计算题
1、解：0 :H 该盒中的白球与黑球球的个数相等。
记总体 X 表示首次出现白球时所需摸球次数，则 X 服从几何分布 1(1 ) k P X k p p ，1,2, k
其中 p 表示从盒中任摸一球为白球的概率。若何种黑球白球个数相等，则此时12p
从而 11 1 2 p P X ， 22 1 4 p P X
， 33 1 8 p P X
44 116 p P X ， 55 2 1 16kkP X 2521( )3.2i iiiv npnp
2 (4)9.488
2 23.2 9.488 (4)
则接受原假设。
2、解：0 :H
X 的概率密度为 ( ) 2 f x x
(0 1) x
10 0.25 0.0625 p P X ， 20.25 0.5 0.1875 p P X
30.5 0.75 0.3125 p P X ， 40.75 1 0.4375 p P X
2421( ) 641.82935i iiiv npnp 2 (3)7.815
因2 21.829 7.815 (3)
故接受原假设即认为 X 的概率密度为 ( ) 2 f x x
(0 1) x 。
3、解：0 :H
公民对这项提案的态度与性别相互独立 22 321 1( )2173.7ij iji jijn ee
因2 22173.7 5.991 (2)
故拒绝0H ，即认为公民对这项提案的态度与性别不独立。
4、略。
第七章
测验
一、填空题（每小题 4 4 分，共 0 20 分）
1、1 25( , , ):2 16nXR x x u 2、XTS n ； 3、2220( 1) n S ；2 ； 4、2122SFS ； 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2, , : ,nR x x S S F S S F 或； 5、
=1 4 ；
9 16 ．
二、选择题（每空 4 4 分，共 0 20 分）
1、A ； 2、C； 3、B；4、C；5、A 三、应用题（共 0 60 分）
1、解：检验0 1: 70 : 70 H H
066.5 701.415 36xTS n
因2T 1.4 2.02 ( 1) t n
故接受原假设0 :70 H
2、解：
0 0 1: =8 : 8 H H
2220( 1) (10 1) 75.73310.6564n S
2 21 210.65 2.7 ( 1) n
故拒绝原假设0 0: =8 H
3、解：先检验2 2 2 20 1 2 1 1 2: : H H
21223.3251.492.225SFS （2 21 2S S ）
查表的2 1 2(( 1),( 1)) 5.35 F n n
因2 1 21.49 5.35 (( 1),( 1)) F F n n 故可认为方差相等。
其次检验0 1 2 1 1 2: : H H
2 21 1 2 21 2 1 2( 1) ( 1) 1 12X YTn S n Sn n n n 76.23 79.433.52(10 1) 3.325 (10 1) 2.225 1 110 10 2 10 10 因 3.52 2.552 (18) T t
故接受原假设0 1 2: H
4、解：0 0 1 0: 0.2 : H p p H p p ， 00 00.27 0.23.5(1 ) 0.2 (1 0.2) 400W pUp p n 因 3.5 1.645 U u
故拒绝原假设。
5、解：
（1）
1.026
（2）
0.0132
第八章
方差分析与回归分析 8.1 方差分析的概念与基本思想 一、 名词解释 1. 因素：影响试验指标变化的原因。
2. 水平：因素所设置的不同等级 3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验 4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验，这类试验一般可用因素的数目
来命名 5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合 6. 处理效应（组间误差）：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响 7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异 二、问答题 1. 单因素试验中，因素的每一个水平即为一个处理，试验有几个水平，就相应地有几个处理；多因素试验中，处理的数目是各因素水平的乘积。例如，三因素试验中，A 因素有 a 个水平，B 因素有 b 个水平，C 因素有 c 个水平，则处理数为 abc 个。
2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差，利用数理统计的相关原理建立适当的统计量，在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差，从而检验处理效应是否显著。
8.2 单因素方差分析 一、 填空题 1. 平方根变换，角度（弧度）反正弦变换，对数变换； 2. 最小显著差数法，最小显著极差法；新复极差法，q 法； 3. 总平方和，随机误差平方和，组间平方和。
二、计算题 1. 变产来源 离差平方和 自由度 均方 F 值 F
组间 28.60 （4）
7.15 14.30 3.63 组内 （4.5）
9 0.5 总和 （33.1）
（13）
2.解：1 12229inri ji jT X ，21 1199327inriji jX ， 2221 12229199327 589.3625inrT iji jTSS Xn 22 212229 1200704 219024 174724 495.365 25riAiiT TSSn n 589.36 495.36 94e T ASS SS SS
方差分析表如下：
来源 平方和 自由度 均方和 F 值 因素 A
495.36 4 123.84 26.35 误差 94 20 4.7 总平方和 589.36 24
因为0.01=26.35 4.43 (4,20) F F ，所以，当显著性水平 =0.01 ，5 个温度对产量的影响有显著差异。
3.该题属于单因素 4 水平等重复试验的方差分析。其方差分析表如下：
变异来源 自由度 df 离差平方和 SS 均方差 MS F 值 0.05F
0.01F
处理间 3 22.61 7.537 15.226 ** 4.07 7.59 处理内 8 3.96 0.495
总变异 11 26.57
说明不同浓度氟化钠溶液处理种子后，对芽长有极显著的影响。
多重比较省略。
4.该题属于单因素不等重复方差分析。
变异来源 自由度 df 离差平方和 SS 均方差 MS F 值 0.05F
0.01F
处理间 2 153.53 76.76 21.51 ** 3.47 5.78 处理内 21 74.93 3.57
总变异 23 228.46
母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用。
8.3 双因素方差分析 1. 本题是双因素无重复观察值的方差分析。方差分析表如下：
变异来源 自由度 df 离差平方和 SS 均方差 MS F 值 0.05F
0.01F
品种间（A）
3 2758.39 919.46 10.02 ** 3.16 5.09 室温间（B）
6 10530.21 1755.04 19.12 **
2.66 4.01 误
差 18 1652.36 91.80
总变异 27 14940.96
F 检验结果表明，品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平。
2. 本题为两因素等重复试验的方差分析。方差分析表如下：
变异来源 自由度 df 离差平方和 SS 均方差 MS F 值 0.05F
0.01F
原料（A）
2 1554.1667 777.0833 12.67 ** 3.35 5.49 温度（B）
2 3150.5000 1575.2500 25.68 **
3.35 5.49 A×B 4 808.8333 202.2083 3.30 *
2.73 4.11 误
差 27 1656.5000 61.3519
总变异 35 7170
由方差分析表可知，原料、温度间的差异均达极显著水平，原料×温度的差异达显著水平。
8.4 回归分析的基本概念 1.如何用数学语言描述相关关系？ 相关关系就是一个或一些变量 X 与另一个或一些变量 Y 之间有密切关系，但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度，其数学语言描述可为：如果给定变量 X 任意一个具体取值0x ,存在变量 Y 的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随0x 的不同而不同；同时给定变量 Y 任意一个具体取值0y ,存在变量 X 的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随0y 的不同而不同，则称 X 与 Y 之间具有相关关系。相关关系是两个随机变量之间的平行
相依关系。
2.什么是回归关系？回归关系与相关关系有何联系？ 回归关系是指在相关关系中，如果 X 容易测定或可人为控制，就将 X 看成为非随机变量，并记为 x （称为预报因子），这时 x 与 Y （称为预报量）之间的关系称为回归关系。
回归关系是相关关系的简化，是变量之间的因果关系。
8.5 一元线性回归模型的建立与检验 一、填空题 1. 211ˆ2ni iiY yn 。
2. 0 1ˆ ˆy x ， 1121ˆ=ni ixyinxxiix x Y YLLx x 。
二、应用题 1.
解：211 1121 1113755.68,11xx i ii iL x x 11 11 111 1 118708.58,11xy i i i ii i iL x y x y 211 1121 116050.58311yy i ii iL y y （1）先求回归方程，由于 1 =0.633,xyxxLL
0 1= -38.97, y x
所以 Y 关于 x 的回归方程为 ˆ y0.633 -38.97, x
（2）用相关系数检验法计算样本相关系数 00.955xyxx yyLrL L
因为 0.019 0.7348, r 而 0 0.019 , r r 故可认为 Y 与 x 的线性相关关系是极显著的
（3）把0200 x 代入回归直线方程，得
ˆ 0.633 200-38.97 87.63 y ， 2. 略。
3. 证明略。
8.6 预测、控制与残差分析 （1）
解：211 112 21 11 136750 510 13104.55,11 11xx i ii iL x x 11 11 111 1 11 113910 510 214 3988.18,11 11xy i i i ii i iL x y x y 211 112 21 11 15422 214 1258.7311 11yy i ii iL y y （1）先求回归方程，由于 13988.18= 0.304,13104.55xyxxLL
0 1214 510= 0.304 5.36,11 11y x
所以 Y 关于 x 的回归方程为 ˆ y5.36 0.304 , x
在检验，用相关系数检验法计算样本相关系数 03988.180.98213104.55 1258.73xyxx yyLrL L 取 =0.01 ，查相关系数检验表得， 0.019 0.7348, r 由于 0 0.019 , r r 故可认为 Y 与 x 的线性相关关系是极显著的。
（2）把075 x 代入回归直线方程，得
ˆ 5.36 0.304 75 28.16 y ， 21258.73 0.304 13104.55ˆ=2.3012 9Qn ， 20.0575-46.36 11+ + =1.07 (9) 2.62611 13104.55t ，
故当075 x s 时，腐蚀深度 Y 的 95%预测区间为
28.16 2.262 2.301 1.074, 28.16 2.262 2.301 1.074 , 即
22.57 .7 ，33 5 . （3）要使腐蚀深度在 10 20 m 之间，即1 210, 20, y y Y 的取值在区间 10 20 ， 内时，则由方程组 1 0 1 12 0 1 2ˆ 2ˆ 2 ,y xy x 解得 1 1 012 2 011 1ˆ 2 10 5.36 2 2.301 30.40,0.3041 1ˆ 2 20 5.36 2 2.301 33.02.0.304x yx y
8.7 可线性化的一元非线性回归 一、填空题 0 0 1 1ln , ln , ln , Y Y x x ；0 0 1 11ln , , ln , Y Y xx ；ln , lg Y Y x x 。
二 、 解答题 题
解：做散点图如右图。由于 Y 与 x 散点图呈指数曲线形状，于是有 • ,xY e 2ln 0, N
两边取对数，令 ln ,ln , , ,ln Y Y a b x x
模型转化为线性模型 2, 0, Y a bx N
对所给数据进行形影变换得到 ix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 iy 7.8827 7.572 7.3092 6.9912 6.6399 6.2879 6.1821 5.6699 5.4205 5.3181 由公式计算可得 1 0ˆ ˆ0.29768, 8.164585
所以Y对x的样本回归方程为 8.164585-0.29768 Y x
用 t 检验法检验 " Y 对 " x 的回归效果是否显著，取显著性水平为 0.05，可得 0500100015002000250030000 2 4 6 8 10 12
0.025ˆ32.3693 8 2.3060ˆxxbt S t
即线性回归效果是显著的。代回原变量，得曲线回归方程 0.29768ˆ ˆ exp 3514.26xy y e
第八章 测验 一、选择题 1、A；
2、C；
3、B；
4、D 二、 填空题 1. 正态 ，独立， 等方差 。
2. 20 1, ~ 0, Y x N 。
3. 1ˆxx yyr L L 。
三、 解答题 1.提示与解答：
单因素等重复方差分析，方差分析表为 方差来源 离差平方和 自由度 均方差 F
F
显著性 药品 1627.826 3 542.609 29.223 9.78 ﹡﹡ 误差 111.41 6 18.568
总和 1739.236 9
方差分析结果表明，农药的杀虫效果是极显著的。
2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用. 销售费用 Y 与销售收入 x 之间的经验回归方程为 ˆ3.14 0.108 Y x
销售费用 Y 与销售收入 x 之间的线性回归关系是显著的。
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